Осевой момент инерции - общие слова
Осевой момент инерции в принципе вычисляется похоже на обычный момент инерции, определяющий меру инерции тела к вращательному движению, однако, в отличие от первого берется не квадрат расстояния точки до центра вращения, а квадрат элементарной площади умножается на квадрат расстояния до оси вращения. Поэтому осевой момент инерции измеряется в [м^4] .
На рисунке представлено тело F, в котором выделена элементарная площадь dF. Точкой С отмечен центр масс тела.
Так как смысл элементарных площадей в том, чтобы как можно точнее разбить исходное тело на множество маленьких частей, то логично предположить, что каждая маленькая часть должна как можно точнее описывать особенности исходного тела. Для каждой конкретной фигуры F вид этой элементарной площади свой и не всегда очевиден.
Для определения осевого момента нужно выбрать, относительно какой оси он будет находится, затем разбить все тело на множество элементарных площадей dF, умножить каждую на квадрат расстояния до оси, относительно которой определяется момент инерции, а затем просуммировать каждое произведение.
Математическим языком это выражается следующей формулой
Математическим языком это выражается следующей формулой
Здесь
Iz— осевой момент инерции относительно оси Z
Ix — осевой момент инерции относительно оси Y
z2,y2— расстояние площадки dF до осей Z и Y соответственно
Каждый интеграл берется по площади всей фигуры F (что отмечено нижним пределом F). Для каждой конкретной фигуры пределы интегрирования различны, где-то они очевидны, где-то нет. Для большинства простых фигур в общем доступе есть готовые формулы осевых моментов инерции, поэтому большой нужды вычислять их самому нет.
Почитать дополнительно можно, например, здесь
1.mysopromat.ru/uchebnye_kursy/sopromat/geometric...
2.ru.wikipedia.org/wiki/Момент_инерции
3.www.dpva.info/Guide/GuideMatherials/MaterialsRe...
Осевой момент инерции прямоугольника
Прямоугольник одна из самых простых фигур и найти его момент инерции не составляет труда. В первую очередь нужно определиться, что представляют собой элементарные площади dF. Очевидно, что прямоугольник проще всего разбить на маленькие прямоугольники, параллельные одной из его сторон — это и есть элементарные площади dF. Площадь каждой из них вычисляется по формуле площади прямоугольника.
Общий ход нахождения осевого момента инерции такой (например для горизонтальной оси). Обозначим высоту прямоугольника H. Делим пополам вертикальную сторону прямоугольника, это будет нулевой уровень. Верхняя часть относительно выбранной точки будет иметь высоту H/2 , а нижняя — -H/2. Откладываем от верхней горизонтальной стороны прямоугольника параллельную ей линию, идущую вниз на величину dy -> 0 . Затем проводим линию, параллельную новой, на таком же расстоянии до нее. Продолжаем вводить новые линии до тех пор, пока не достигнем нижней горизонтальной стороны треугольника. Каждый из получившихся прямоугольников имеет одинаковую ширину, равную ширине исходного прямоугольника, а также одинаковую высоту, равную , следовательно, не составляет труда посчитать площадь каждого элементарного прямоугольника. Для нахождения осевого момента инерции теперь нужно умножить каждую площадь на расстояние от центра прямоугольника до оси, проходящей через уровень 0 (см. рисунок 1 слева), а затем все просуммировать.
На языке математике это выглядит просто
Произведение представляет собой ни что иное, как площадь элементарного прямоугольника, а — расстояние центра этого прямоугольника до уровня 0. Интегрируя ( приводя подобные слагаемые, получаем второе уравнение
Осевой момент инерции относительно горизонтальной оси находится совершенно аналогично (см. рис.1, справа)
Осевой момент инерции круга
Круг весьма простая фигура, поэтому можно находить момент инерции сразу по формуле, определившись только с тем, что представляет собой элементарный участок площади dF.
В данном случае это кольцо, образованное двумя концентрическими окружностями: внешней с радиусом r + dr и внутренним с радиусом r , причем dr->0. Понятно, что выбрав изначально r = R-dr , затем взяв очень маленькое dr , рассчитав площадь кольца, затем положив r=R-2dr, (оно будет уже немного меньше R-dr) , выбрав вновь маленькое dr, рассчитав площадь второго кольца и так далее, пока , мы получим в сумме площадь всего исходного круга радиуса . Для вычисления осевого момента инерции останется только умножать каждую площадь на квадрат расстояния до оси, относительно которой вычисляется момент инерции. Для каждого нового кольца это расстояние, конечно, будет новым.
Нужно теперь вспомнить, как вычисляется площадь кольца. Для этого нужно вычислить площади кругов с радиусами r + dr и r , затем вычислить их разность — это и будет площадью кольца. По определению
sкольца = π ( (r + dr)2 - r 2)
sкольца = π ( (2rdr + 2 (dr)2)
Так как dr->0, а квадрат этой величины стремится к нулю еще быстрее, то вторым слагаемым в скобках можно пренебречь. Окончательно получаем
sкольца = 2π rdr
Математическим языком описанная процедура выражается весьма просто. Например, для горизонтальной оси
В последней формуле момент инерции выражен через диаметр исходного круга. Момент инерции относительно вертикальной оси, очевидно, будет точно таким же, потому что круг симметричен.
Более подробно можно почитать, например, здесь mysopromat.ru/uchebnye_kursy/sopromat/geometric...